Groupe de Travail de l'Institut Camille Jordan
Le 22 mars 2016
En salle des séminaires du département de Mathématiques
(salle C 112)
Groupe de travail en algèbre sur "la Théorie des Topologies"
Le groupe de travail sur la théorie des Topolgies est organisé par :
- Michael BULOIS
- Stéphane GAUSSENT
Orateur : Michael BULOIS (ICJ)
- le 14 mars à 16h15
Titre : Topologies de Grothendieck, sites et faisceaux, I
Résumé : Où l'on verra les (pré)-faisceaux comme des foncteurs. Où l'on définira des topologies en termes de catégories. Où l'on croisera des exemples de topologie un petit peu exotiques.
- Le 22 mars à 14 heures
Titre : Topologies de Grothendieck, sites et faisceaux, II
- Question 1 : comment comparer 2 (vraies) topologies sur même ensemble E (ex: plus fine? plus grossière?) en terme de topologies de Grothendieck?
Réponse : Prendre la même catégorie de départ pour les deux: C=P(E), l'ensemble des parties de E où les flèches sont les inclusions. Et, pour une topologie donnée, on définit la topologie de Grothendieck sur C suivante: R\in J(X) <=> R est un crible engendré par un ensemble \{V_i |i\in I\} où les V_i sont des ouverts relatifs de X et X=\bigcup_i V_i.
Exercice :
a) Montrer qu'on a bien affaire à des topologies de Grothendieck.
b) une (vraie) topologie est plus fine qu'une autre si et seulement si la même relation est vraie pour les topologies de Grothendieck associées sur C.
-Question 2 : Pour les faisceaux sur une catégorie d'ouvert (ou plutot, "sur le site des ouverts d'un espace topo E"), il manque la condition F(vide)={*} (singleton) qui apparait dans les axiomes de nos faisceaux habituels, non?
Réponse : En fait, cela découle de la condition "Hom(X,F) en bijection avec Hom (R,F)" appliqué à X=vide (qui est bien un ouvert de E donc un objet de C) et à R=vide (le crible sans objets) qui forme bien une famille (à 0 éléments) couvrante de X.
Exercice : découler
Michael BULOIS
michael.bulois @ univ-st-etienne.fr
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