Journée de l'équipe Combinatoire et Théorie des Nombres

Journée de l'équipe CTN à l'UJM

La journée de l'équipe CTN est organisée par les équipes de théorie des nombres de l’Institut Camille Jordan.
Elle prend la forme d’une journée d’exposés, et est organisée une fois par an en alternance entre l’Université de Lyon 1 et l’Université Jean Monnet.

Accueil et exposés en salle des séminaires C 112 du département de Mathématiques
Repas en salle A 8
 

Programme de la journée  :

10h00 : Accueil Café (salle C 112)

10h30 – 11h20 : Pierre Bienvenu, Université Claude Bernard, Lyon 1
Uniformité linéaire et quadratique de la fonction de Möbius dans les corps de fonctions

Dans l'optique de déterminer une formule asymptotique pour le nombre de configurations linéaires de polynômes irréductibles sur F_q[t] de degré inférieur à n,  dans le régime difficile où q est fixé et n tend vers l'infini,  il est nécessaire d'estimer les normes d'uniformité (ou de Gowers) de la fonction de Möbius. Au vu du théorème inverse pour ces normes sur les espaces vectoriel, démontrer l'uniformité de la fonction de Möbius µ revient à démontrer que µ(f) n'est corrélée à aucune phase polynomiale en les coefficients du polynôme f. Nous étudions ce problème pour les phases linéaires et quadratiques. Notre étude fait intervenir un nouveau théorème de structure en combinatoire additive. En commun avec Thai Hoang Lê.

11h30 – 12h20 : Jehanne Dousse, Université Claude Bernard, Lyon 1
Asymptotique des tableaux de Young gauches

Un tableau de Young standard (SYT) est un remplissage des cellules d'un diagramme de Young de taille n avec les nombres de 1 à n, tels que les entrées soient croissantes dans les lignes et les colonnes.
Ces objets sont liés à divers domaines tels que la combinatoire algébrique et la théorie des représentations. La formule des équerres de Frame, Robinson et Thrall permet de calculer le nombre de SYT d'une forme donnée. Cependant, si on considère les SYT de formes gauches (un diagramme obtenu en enlevant un diagramme de Young mu d'un plus grand diagramme de Young lambda), on ne dispose pas de formule aussi simple, et il est donc plus difficile de les compter.
Dans cet exposé, nous étudierons l'asymptotique du nombre de SYT de formes gauches. Notre approche repose sur des bornes pour les caractères du groupe symétrique.
(travail en commun avec Valentin Féray)

12h30 : Repas (salle A 8)

14h10 – 15h00 : Quentin Gazda, Université Claude Bernard, Lyon 1
Wronskien de fonctions thêta et identités modulaires

Avant que Freeman Dyson ne devienne Physicien, il était théoricien des nombres. On lui doit une formule pour la fonction tau de Ramanujan d’une beauté particulière. Cette formule fut retrouvée indépendamment et en plus grande généralité par Ian Macdonald. Les identités de Macdonald relient alors certaines puissances de la fonction $\eta$ de Dedekind aux systèmes de racines d’algèbres de Lie semi-simples. Seulement, Dyson n’a jamais publié sa preuve et celle de Macdonald, purement combinatoire, ne fait pas intervenir les formes modulaires. Dans cet exposé, je montrerai que l’identité de Dyson est en fait une égalité entre le discriminant modulaire et un wronskien de fonctions $\theta$ à valeurs vectorielles. Cette identité se généralise naturellement à d’autres types de fonctions $\theta$ et permet d’obtenir la modularité de certaines $q$-séries formelles. Comme corollaire de ce travail, il y aura des formules combinatoires, notamment pour les nombres de partitions. 

15h10 – 16h00 : Julien Roques, Université Claude Bernard, Lyon 1
Autour de l'hypergéométrie

Il s'agit d'un exposé informel dans lequel je présenterai quelques résultats et problèmes ayant trait à l'hypergéométrie (ou à la q-hypergéométrie).

 Organisateur : Pr. Federico Pellarin