Séminaire d'algèbre 8/10 M. Jeanin et Huayi Chen

Séminaire d'algèbre à l'Institut Camille Jordan

Faculté des Sciences et Techniques UJM
Salle des séminaires C 112
De 14h00 à 15h00

Marion Jeanin, Institut Camille Jordan et Huayi Chen, Université de Paris

 

Le séminaire d’algèbre est organisé chaque jeudi par l’équipe d’algèbre de l’Institut Camille Jordan.

 

Prochain exposé jeudi 8 octobre 2020, en salle des séminaires du département de mathématiques :

 

  • De 14h00 à 15h00

Oratrice : Marion Jeanin, Institut Camille Jordan

Titre : Sur les sous-groupes paraboliques associés à un groupe réductif en caractéristique p>0

Résumé : Sur les sous-groupes paraboliques associés à un groupe réductif en caractéristique p > 0
Dans cet exposé je présenterai des résultats obtenus au cours de ma thèse et qui répondent
en partie à la question suivante : soient k un corps et G un groupe réductif au-dessus d’une kcourbe
X, peut-on, de manière canonique, associer à G un de ses sous-groupes paraboliques ? Il
s’agit ici d’étendre la notion de (semi-)stabilité, définie par la théorie géométrique des invariants,
pour les points de X aux schémas en groupes réductifs.
De nombreuses généralisations de cette notion à ce cadre ont été développées, en caractéristique
0 lorsqu’elles coexistent (ce qui dépend d’hypothèses sur k et G) elles sont équivalentes,
alors qu’en caractéristique p > 0 la situation est plus complexe : lorsqu’elles peuvent être considérées,
toutes ces théories associent à G un de ses sous-groupes paraboliques. Il s’agit ici de
comparer les différents candidats qu’elles définissent. L’obtention d’un analogue du Théorème
de Morozov (qui fournit une caractérisation des sous-algèbres paraboliques de Lie(G) en fonction
de leur nilradical) en caractéristique positive permet une telle comparaison. De récents travaux
de V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran, puis de A. Premet et D. I. Stewart permettent
l’obtention d’un tel analogue, les premiers par une approche uniforme qui requiert toutefois des
conditions assez fortes sur le groupe considéré et la caractéristique du corps, les seconds à l’aide
d’une étude de cas qui permet d’affaiblir drastiquement ces hypothèses.
Dans cet exposé je présenterai des résultats qui permettent d’adapter les outils développés par
V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran de manière à obtenir une démonstration uniforme
d’un résultat qui approche le degré de généralité de celui obtenu par A. Premet et D. I. Stewart.

 

  • A 15h30

Orateur : Huayi Chen, de l'Université de Paris

Titre: Systèmes linéaires gradués qui ne sont pas de type fini

Résumé: En algèbre commutative ou en géométrie algébrique, on s’intéresse souvent au comportement asymptotique de la fonction de Hilbert d’une algèbre graduée sur un corps, qui associe à chaque entier naturel $n$ la dimension de la composante homogène de degré $n$. Dans le cas où l’algèbre est de type fini sur son corps de base, il est bien connu que la fonction de Hilbert est équivalente à un polynôme lorsque $n$ tend vers l’infini. Des subtilités apparaissent lorsque l’algèbre n’est pas de type fini — ceci se produit souvent en géométrie algébrique ou arithmétique. En utilisant une comparaison aux algèbres de semi-groupes, Kaveh-Khovanskii et Lazarsfeld-Mustaţă ont pu décrire le comportement asymptotique d’une sous-algèbre gradué d’une algèbre gradué de type fini et intègre, sous l'hypothèse que le corps des fractions de degré $0$ admet une valuation de feuilles unidimensionnelles. Cette hypothèse implique par exemple que ce corps des fractions de degré $0$ est géométriquement intègre sur le corps de base. Dans cet exposé, j’expliquerai comment la méthode arithmétique permet d’enlever cette hypothèse, où un variant birationnel du 14e problème de Hilbert joue un rôle techniquement important. Il s’agit d’un travail en commun avec Hideaki Ikoma (Université Shitennoji).