Séminaire d'algèbre de l'Institut Camille Jordan

Orateurs : Stéphane Gaussent (ICJ UJM) et Cédric Lecouvey (Univ. de Tours)

Le séminaire d’algèbre est organisé chaque jeudi par l’équipe d’algèbre de l’Institut Camille Jordan.

Prochain séminaire à Saint-Étienne, jeudi 3 mars 2022, en salle C 112

Premier exposé de 11h15 à 12h15:

Orateur : Stéphane Gaussent (Institut Camille Jordan UJM)

Titre : Modèle des chemins de Littelmann et polytopes Mirkovic-Vilonen

Résumé : D'un côté, depuis 1994, le modèle des chemins de Littelmann est un outil combinatoire qui décrit la théorie des représentations d'une algèbre de Kac-Moody (symétrisable). Les chemins sont des applications continues linéaires par morceaux dans un espace vectoriel réel A de dimension finie dont une base est formé par les poids fondamentaux de l'algèbre. D'un autre côté, premièrement issus de travaux de Mirkovic et Vilonen, les polytopes MV sont aussi définis dans le cadre des algèbres de Kac-Moody par Baumann, Kamnitzer et Tingley en 2014, comme des polytopes dans A. Ces deux notions sont des exemples de la structure de cristal introduite par Kashiwara. Ainsi, abstraitement, il existe une bijection entre ces deux ensembles. Cependant, l'espace vectoriel A avec sa structure d'hyperplans est aussi l'appartement témoin de la masure associée à la situation. Les masures sont des généralisations des immeubles de Bruhat-Tits. Grâce à la structure géométrico-combinatoire de la masure, notamment la notion de rétraction, il est possible de décrire les polytopes MV directement à partir des chemins. Il s'agit d'un travail en commun avec Tristan Bozec.

Deuxième exposé à 14 heures :

Orateur : Cédric Lecouvey (Université de Tours)

Titre : décomposition atomique des caractères

Résumé : La notion de cristal associé à une représentation irréductible d'une algèbre de Lie, introduite dans les années 90 par Kashiwara, Lusztig et Littelmann, donne une description combinatoire simple du caractère associé à cette représentation. La partie dominante de ce caractère admet une graduation subtile où les dimensions des espaces de poids sont remplacées par leurs q-analogues naturels (polynômes de Kostka, q-analogues de Lusztig). Le but de l'exposé sera de présenter un modèle combinatoire pour la partie dominante de ces caractères. Ce modèle en donne une décomposition "atomique" : chaque atome étant la somme formelle des poids dominants inférieurs ou égaux à un poids dominant donné. Cette décomposition est conjecturalement compatible avec la graduation précédente pour les type classiques et j'expliquerai pourquoi la conjecture est vraie en type A. C'est un travail en commun avec C. Lénart (Albany USA).