Séminaire d'algèbre de l'Institut Camille Jordan
Le 10 octobre 2024
Faculté des Sciences et Techniques de l'UJM
Campus Manufacture, dans la salle L202 du batiment des forges, 11 rue annino, 42000 Saint-Etienne.
Paul Philippe (Institut Camille Jordan) et Mathieu Dutour (Institut Camille Jordan)
Le séminaire d’algèbre est organisé chaque jeudi par l’équipe d’algèbre de l’Institut Camille Jordan.
Prochain séminaire à Saint-Étienne : jeudi 10 octobre 2024, en salle L202 (bâtiment Les Forges)
Premier exposé de 11h15 à 12h15
Paul Philippe (doctorant Institut Camille Jordan)
Titre : Polynômes R de Kazhdan-Lusztig affine pour les groupes de Kac-Moody
Résumé : A tout groupe réductif G, il est possible d'associer une ind-variété, sa variété de drapeaux affines X, dont la géométrie est étroitement lié à la théorie des représentations de G et de son groupe de lacets G[t,t^{-1}]. Les polynômes R de Kazhdan-Lusztig permettent de décrire partiellement la structure de X en utilisant la combinatoire d'un groupe de Coxeter: le groupe de Weyl affine de G. Lorsque l'on essaie de remplacer G par un groupe de Kac-Moody non réductif, X peut toujours être défini mais n'a plus de topologie raisonnable, et sa structure est plus complexe. Il y a bien un analogue W^+ au groupe de Weyl affine, mais cet objet n'est plus qu'un semi-groupe, et n'a pas de structure de Coxeter. Cependant, en 2016 A. Braverman D. Kazhdan et M. Patnaik ont introduit une relation d'ordre sur W^+ qui pourrait jouer le rôle d'ordre de Bruhat. Depuis, certaines propriétés combinatoires importantes de ce semi-groupe ont été obtenues, et il semble désormais possible de définir des polynômes R de Kazhdan-Lusztig dans ce contexte. Cela a été initié en 2019 par D. Muthiah, et nous l'avons poursuivi avec A. Hébert en utilisant les masures jummelés introduites par N. Bardy-Panse, G. Rousseau et A. Hébert en 2022.
Dans mon exposé, après avoir introduit ces polynômes dans le cas réductif, je présenterais un modèle de chemin permettant de les définir dans le cas Kac-Moody.
Deuxième exposé de 14h à 15h
Orateur : Mathieu Dutour (ATER, Institut Camille Jordan)
Titre : Une isométrie de Deligne--Riemann--Roch pour les courbes modulaires et fibrés plats unitaires
Résumé : En 1987, Deligne a obtenu une isométrie pour des familles de surfaces de Riemann compactes et des fibrés vectoriels holomorphes, reliant un objet de nature spectrale, le fibré déterminant muni de la métrique de Quillen, à des fibrés d'intersection. Cependant, il est important pour obtenir ce résultat que toutes les métriques soient lisses, ce qui est une hypothèse restrictive pour étudier des situations intéressantes du point de vue de la théorie des nombres.
Dans cet exposé, nous verrons, en considérant le cas des courbes modulaires munies de fibrés plats unitaires, une stratégie pour contourner ce type de difficultés, basée sur un article de Freixas i Montplet et von Pippich qui traite le cas du fibré en droites trivial. Le résultat, qui est une isométrie du même type que celle de Deligne, fournit alors un théorème de Riemann--Roch arithmétique qui permettra, dans le cas des courbes modulaires, de relier la première dérivée non nulle en 1 de la fonction zêta de Selberg à des normes hyperboliques et des nombres d'intersection arithmétique.